CALCULO *NUMEROS REALES*

*Los números irracionales

Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por tanto no se pueden expresar en forma de fracción. El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.
                                    

*Los números reales

El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales, se designa por .

Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.

A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta un número real.

Operaciones con números reales

Suma

Propiedades

1.Interna:   a + b

2.Asociativa:    (a + b) + c = a + (b + c) •

3.Conmutativa:  a + b = b + a

4.Elemento neutro:  a + 0 = a

5.Elemento opuesto:   Dos números son opuestos si al sumarlos obtenemos como resultado el cero.El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.La diferencia de dos números reales se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo. a - b = a + (- b)

Producto    Propiedades

1.Interna:    a • b

2.Asociativa: (a • b) • c = a • (b • c)

3.Conmutativa:    a • b = b • a

4. Elemento neutro:  a •1 = a

5. Elemento inverso:  Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

 6.Distributiva:  a • (b + c) = a • b + a • c

7.Sacar factor común:  a • b + a • c = a • (b + c)

La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

Intervalos

Los intervalos están determinados por dos números que se llaman extremos. En un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos.

Intervalo abierto (a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo cerrado [a, b] = {x / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la izquierda  (a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo semiabierto por la derecha  [a, b) = {x / a ≤ x < b}

Semirrectas 

x > a

(a, +∞) = {x / a < x < +∞}

x ≥ a

[a, +∞) = {x / a ≤ x < +∞}

x < a

(-∞, a) = {x / -∞ < x < a}

x ≤ a

(-∞, a] = {x / -∞ < x ≤ a}

web grafia: http://www.vitutor.com/di/re/r2.html

NO.REALES Y NATURALES

Nº REALES

 

En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales como a los números irracionales.

Los números reales no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII. En ese siglo, en el cálculo se utilizaba un conjunto de números reales sin una definición concisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.

En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales fue lograda en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor, por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind .Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia.

web grafia Link

http://martajose.blogspot.mx/2010/10/trabajo-de-n-reales.html

Los números naturales

Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...}

•Con los números naturales  se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman un semigrupo conmutativo.

•Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo.

•El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia directiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número  , es decir, el conjunto   cuando  es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante.

•El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien.

•Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene.

Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2.

•Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces .

◦Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente:

 Para es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es .

Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también es cierta para ,

 Luego la fórmula es válida para todo n natural.

◦Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:

•Dados dos números naturales , no es cierto en general que exista un natural tal que . Si tal existe se denomina cociente exacto de por , y la división se denomina exacta. En este caso se dice que es divisible por , o que es un divisor de , o que es un múltiplo de .

Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen con Los números , , y se denominan dividendo, divisor, cociente y resto respectivamente y el procedimiento para determinar y a partir de y se denomina división entera.

web grafia Link.

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Reales/marco_reales.htm